Закон консолідації: вісім способів виростити ґратку
Препринт The Law of Consolidation of the Tetrahedral–Octahedral Lattice («Закон консолідації тетраедрично-октаедричної ґратки») на Zenodo: doi:10.5281/zenodo.23813579.
Закон. Правильний октаедр із ребром 2a складається з шести октаедрів і восьми тетраедрів ребра a; тетраедр із ребром 2a — з чотирьох тетраедрів і одного октаедра. Читаючи вниз, це поділ. Читаючи вгору — консолідація: малі комірки збираються у більші, і вийде та сама ґратка. Попередні роботи серії користувались цим кроком, не формулюючи його окремо. Тут його сформульовано, а результати розкладено на три рівні певності.
Доведено. Сам закон і його зведення до поділу навпіл двох відрізків. І несподіваний факт: ґратка з ребром a допускає рівно вісім консолідацій — вісім зсувів грубшої ґратки відносно неї, по одному на клас вузлів за модулем їхнього подвоєння. Тож родовід комірки з самої ґратки не прочитати. Вісім зсувів пов'язані трансляцією, тому без фізично позначеної точки відліку це не вісім різних станів.
Числово. Ріст прямими. Проведіть прямі через вузли одного октаедра вздовж його шести напрямків ребер: на першому кроці вони перетинаються рівно у восьми нових вузлах — вершинах зірки Кеплера, чиї два великі тетраедри мають ребро 2a. Вісім розпадаються як 2 + 6: два — тетраедри стели, шість — кути. Повторення кроку заповнює вузлову ґратку в перевіреній області, і жоден перетин не потрапляє поза ґратку.
Гіпотеза. Якщо консолідація — первинний процес, тобто структура виросла, а не була поділена, то кожен крок обирав один із восьми варіантів, а введені раніше клани — запис цього росту, а не лише мітка. Скрізь маємо одну просторову структуру, описану на різних рівнях, а не окремі ґратки для різних масштабів.
Ідея тесту, поки не тест. Якщо запис має фізичні наслідки, вони могли б проявитись в октаедричному (ℓ = 4) каналі, наприклад у ядрах зі спіном 2 і вище. Чи так — відкрите питання.
Статус: перша частина доведена, друга перевірена числово, третя — гіпотеза. Скрипт перевірок — у записі на Zenodo.